Graph sederhana pembagi nol dari ring komutatif dengan satuan

Abstract

Misalkan R merupakan ring komutatif dengan unsur satuan. Berdasarkan unsur – unsur di R dan unsur – unsur pembagi nol di R, akan diperoleh suatu graph Γ(R), dengan himpunan titiknya adalah V(Γ(R))=Z(R) dimana Z(R)={0≠x∈R|xy=0,untuk suatu 0≠y∈R} dan himpunan sisinya adalah E(Γ(R))={(x,y)|xy=0,x,y∈Z(R)} dimana (x,y)=(y,x). Graph tersebut disebut graph pembagi nol. Jika himpunan sisi pada graph tersebut adalah E(Γ(R))={(x,y)|xy=0,x,y∈Z(R),x≠y} dimana (x,y)=(y,x), maka graph tersebut disebut graph sederhana pembagi nol. Pada tulisan ini, akan dikaji karakteristik graph sederhana pembagi nol Γ(R), yaitu (1) graph Γ(R) hingga jika dan hanya jika R adalah hingga atau R adalah daerah integral, (2) graph Γ(R) adalah graph terhubung dengan dim⁡(Γ(R))≤3, (3) ada titik dari Γ(R) yang terhubung langsung ke semua titik lainnya jika dan hanya jika Z(R)∪{0} merupakan ideal annihilator, (4) ada titik dari Γ(R) yang terhubung langsung ke semua titik lainnya jika dan hanya jika R≅Z_2×A, dimana A merupakan daerah integral, (5) jika R hingga, maka ada titik dari Γ(R) yang terhubung langsung ke semua titik lainnya jika dan hanya jika R≅Z_2×F, dimana F merupakan field.